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　　第二章　線性獨立和維度

　　第三章　線性變換

　　第四章　正交性

　　第五章　行列式

　　第六章　對角化和矩陣重現

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序 言
　　 我之所以寫這本書是因為我深信數學是關於想法的學問，而非只是公式和演算式，也不只是理論及證明。本書包含了可在一學期的線性代數課程中找到的教材，不過，它是採取知道〝為什麼〞和知道〝如何〞同等重要的觀點寫成的。
　　為了要確定讀者不僅了解到一已知事物為什麼為真的，也要了解為什麼它是重要的，因此，我會收入一些線性代數美麗的應用結果。

　　大部份的學生似乎喜歡這個樣子強調的重點，對於許多人而言，數學總是被盲目接受和使用的事實，他們對於自己能決定數學上真實或錯誤的想法感到意外。本書的目的便是促進這層的了解。

本書特性
　　平行結構　　大部份的線性代數教科書是以解決方程組、矩陣代數和行列式的冗長基本計算開始，學生會發現這很容易且對他們來講有一點熟悉。但是漸漸地，在上了三堂以上的課程之後，事情改變了，突然間學生被要求吸收一個接著一個的抽象概念，他們不太能看出這些概念和課程的第一部分以及其他曾學過的東西之間的關係。
　　在能將這些抽象概念和課程的第一部份聯繫起來的同時，許多學生早已迷失而無法看出或領略這些關聯。

　　這本書是不同的。我們採用平行的發展模式，只在有助於了解計算時，才提出抽象概念。我們絕對不會在未事先說明一個新概念的重要性以及未事先說明與學生先前的經驗相關連的情況下就將其提出。因此學生會視本文的抽象部份為計算部份的自然發展。
　　此種方法的好處無法衡量，平行發展讓我們能以較慢的速度介紹抽象概念，給學生一整個學期的時間光吸收從前壓縮在三分之二個學期的內容。在進入下一個新的概念之前，學生有時間來完全吸收，因為在介紹概念時就使用它們，因此，學生能了解為什麼每個概念是必要的，理論和應用之間的關係是清楚並且及時的。

　　逐漸發展向量空間　　本書的一個特殊性質是它處理向量空間概念的方式，大部份現在的教科書都較晚才介紹此概念，我們卻將它放在蠻前面的，因為我們很快就要用到它，不過，我們並不會很快的深入，而是在需要介紹新想法和例子時，緩慢的增加讀者對它的了解，通常，向量空間的概念是在回答特定問題或解決具體問題，例如設計音樂合成時才提出的。

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　　這種方法非常有用，當我們使用越多的傳統教科書，越會發現自己花太多的時間在解釋何謂向量空間上，學生又不知所措，無法了解自己學到了什麼而感到困惑，有了這逐漸的方法，就很難產生何謂向量空間的問題了，當用一個具體內容介紹向量空間的概念時，抽象概念就不僅有了意義而且是基礎的。

　　證明方式　　學生學習去讀和做出證明是很基礎的，證明能夠確認我們的結果並解釋為什麼它們是對的。不過對於許多學生來說，線性代數是他們第一個以證明為基礎的課程，他們來修這個課程時，不但未具有讀證明的能力，也不能了解它們的重要性。
　　許多線性代數簡介書籍採用正式的〞定義-定理-證明〞格式，在這種方式中，尚未有能力閱讀抽象數學的學生，會認為定理的敘述及其證明只是〝無意義的抽象。通常這種學生只精通計算技術，因為這是課程中，唯一對他們有意義的部份，事實上，我們只是讓這種學生成為慢的、不精確的電腦而已。

　　我們的觀點不同，大部份的結果都已證明，但是通常是以討論的方式提出，鼓勵學生去讀和了解它們。在說明一性質之前，我們通常會解釋為什麼我們預期此性質成立，以及其意義，若解釋未能完全說明此性質總是對的，那麼，我們的解釋是不正式但完全成立的證明。
　　若解釋確有令人懷疑之處，則我們一般會給一個正式的證明；在學生更有經驗來處理抽象概念之後，我們在後面章節中的證明會更正式，用這種方式，隨著課程的前進，學生在數學上會更成熟，他們能夠（希望是）了解到數是是以想法為基礎，以及更了解數學是如何被創造出來的。

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　　完全的將應用整合至本書中　　教授線性代數，卻沒有引入一些好的應用，就像是寫一本沒有結果的偵探小說一樣。我們對於應用的觀點是非傳統的，大部份的線性代數書籍會在介紹過教材之後，提供一例子或〞真實世界的應用〞，我們覺得這是落後的，我們通常以應用開始，並顯示解決真實世界問題是如何地必須，這會迫使我們發展某些數學的工具，這種方式不僅較會使學生感到興趣，且實際工程師或數學家在進入實際工作場所時，也常會需要這樣子的思考方式。

　　概念的練習題　　大部份這種程度的教科書有2類的習題：證明和計算，我們當然會有一些證明和許多的計算，不過大部份的習題是〞概念，而非理論的〞，也就是說，每個習題都會問一個明確、具體的問題，需要學生以觀念思考來求出答案，與證明題相比，此種問題較具體且較易處理，因而較能夠使用出概念，學生並不需要抽象概念，就能處理它們，事實上它們就像抽象證明和明白的計算之間的橋樑。

　　較早提出特徵值　　我們將本書設計成較早提到特徵值和特徵向量，它們出現在大部分對角化的材料之前，（見樣本課程表中的（較早的特徵值））。

　　對與錯的問題　　我們在學生和教師手冊中有對與錯問題的小節。

　　注意教授法　　我們的方式是非正式和對話的，我們通常以一個一般原則的例子來開始每一節，大部份的原理皆有完整的證明，不過，證明通常以討論的方式呈現，以鼓勵學生研讀並了解它們。
　　在本書中，我們也強調幾何，我們希望我們的學生能從〞計算、分析、和幾何〞三方面來了解線性代數。

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　　學生測試　　本書已被無數代數老師（普渡大學）和其它全國各大學的老師使用數年，我們併入了老師，校對者和（最重要的）學生的意見。

　　技術　　大部份本書的小節，在〞上機〞的標題下包含了一些電腦習題，每一習題都專屬於其章節，並設計來支援及延伸當節中討論的概念。
　　這些習題有特殊的性質：它們是設計成〞自立的〞，原則上，老師不必花課堂上的時間來討論計算，在書中有大部份學生想知道的所有事。在本書中，討論是以MATLAB為基礎，不過，學生手冊中也包含改寫於其它平台（例如Maple,Mathematica,和TI計算機）之習題，也可以在網址"http://www.wiley.com/college/penney"處免費取得它們。

　　每章摘要，名詞解釋，和精選的解答／提示　　辭彙解釋包含了本書中主要概念之定義，解答部份包含了精選的習題的答案，和其它題的提示，還有，在每章結束的地方，摘錄了該章主要重點，讓學生能對他們剛學的東西得到一個概觀。

　　學生輔助教材　　我們也提供了包括更多的例題解答，某些習題進一步的提示，和將電腦習題改寫成各種平台(例如Maple,Mathematica,和TI計算機）之學生輔助教材。

　　符合LACSG之建議　　線性代數課程研究小組(LACSG)建議線性代數的第一個課程應為〞學生導向〞的課程，要考慮〞客戶訓練〞和使用技術，LACSG也建議第一個課程要是〞矩陣導向的〞，我們在本書中強調矩陣。

Richard Penney 理查班尼 West Lafayett於1997

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